Eerder schreef ik over de kustlijnparadox en hoe die zich verhoudt tot de status van wetenschappelijke bevindingen. Daar wordt verwezen naar het werk van Benoît Mandelbrot, de wiskundige naar wie de mandelbrotverzameling vernoemd is, een opvallend wiskundig figuur dat niet zonder esthetische waarde is.
De mandelbrotverzameling behoort tot de zogenaamde fractalen, die met name bekend staan om hun rol in de chaostheorie ( > ), wat een populaire naam is voor de tak van de wiskunde waarin men zich bezig houdt met de voorspelbaarheid van niet-lineaire dynamische systemen – waarin men op zoek gaat naar de orde die zelfs in de meest wanordelijke verhoudingen nog te vinden zou moeten zijn.
De fractaal waar Mandelbrot gebruik van maakt om de kustlijnparadox beter inzichtelijk te maken maakt is een meetkundig figuur met een bijzondere eigenschap: het bestaat uit onderdelen die in zekere mate zelfgelijkend zijn aan het figuur zelf. De onderdelen waar het figuur uit bestaat, gelijken het figuur zelf, waardoor een zekere herhaling optreedt. Denk aan een broccoli, waarbij, als je er een stuk vanaf breekt, het broccoliroosje dat je dan vasthoudt een zekere gelijkenis vertoont met de gehele broccoli.
De fractale vorm laat zich dan ook goed zien in de romanesco, een groente verwant aan bloemkool en brocolli, met een naam die kort is voor broccolo romanesco, broccoli uit Rome, maar die ook wel de fractoli genoemd wordt, naar zijn fractale vorm.
Afbeelding: Wikipedia
Je kunt een fractaal dus zien als een verzameling die zichzelf bevat. De figuur herhaalt zichzelf en bestaat uit een verzameling herhalingen van zichzelf.
Binnen de meetkunde heeft deze bijzondere verhouding tussen het deel en het geheel als gevolg dat een fractaal oneindig detail bevat. Hoe ver je er ook op inzoomt, steeds weer komen er schijnbaar nieuwe elementen van de figuur naar voren – en ik zeg schijnbaar, want voor zover de elementen van het figuur identiek zijn aan elkaar zie je dus eigenlijk gewoon steeds hetzelfde.
Het effect dat hieruit ontstaat heeft iets moois, niet alleen visueel maar ook mooi door de betekenis die het draagt in relatie tot problemen als de kustlijnparadox, en, zoals we hieronder zullen zien, in relatie tot complexe – en schijnbaar complexe – systemen in het algemeen.
Gaston Julia was de eerste om de fractaal in wiskundige termen te beschrijven. De Nederlander Albert E. Bosma heeft zijn eigen fractaal ontworpen, die de boom van Pythagoras wordt genoemd. Het was Benoît Mandelbrot die deze figuur met behulp van IBM computers voor het eerst visualiseerde middels een computerprogramma, waar de nu volgende video een demonstratie van is.
Kijk deze video van een hedendaagse iteratie (niet vergeten op 4k en fullscreen te zetten) om een beeld te krijgen van de kracht van de mandelbrotverzameling, een goed voorbeeld van de wijze waarop men een kosmische religeuze ervaring kan hebben door de mogelijkheden van wiskunde alleen.
De vorm van oneindigheid die we hier voor onze kiezen krijgen heeft iets uiterst fascinerends en illustreert de magische werking die wiskunde op ons kan hebben. Tegelijkertijd echter – en dit misschien nog wel mooier – illustreert het ook aan welke strenge limieten de wiskunde onderhevig is.
Want hoe indrukwekkend deze video ook is, hij toont tevens heel duidelijk de grenzen van zo’n wiskundig model, en daarmee iets van de grenzen van kunstmatige intelligentie en logica in het algemeen. We zien dat deze video al vrij snel repetitief wordt, eentonig, meer van hetzelfde, en dat is precies het punt waarop de wiskunde aan zijn grenzen komt, er kan niets nieuws uit ontstaan, want alles wat er in modellen mogelijk is ligt van tevoren reeds vast. We zien in deze video duidelijk uitgebeeld hoe oneindigheid zich verhoudt tot herhaling, en hoe schijnbaar complexe systemen tot hun veel simpelere essentie teruggebracht kunnen worden.
Zoals in de spellen schaak en go hebben we hier te maken met een zekere illusie van complexiteit. De spelregels zelf lijken betrekkelijk simpel in elkaar te steken, en uit die simpelheid lijkt een grote mate van complexiteit te ontstaan. Het complexe lijkt uit het simpele voort te komen. In werkelijkheid echter is dat geenszins het geval, en betekent wat we zo mooi door de mandelbrotverzameling uitgebeeld zien worden enerzijds dat een spelletje schaak of go nooit complexer kan worden dan zijn startvoorwaarden – alle mogelijkheden, en dus ook alle complexiteit, liggen reeds in de spelregels besloten – en anderzijds dat achter die ogenschijnlijk simpele regels dus eigenlijk veel meer complexiteit schuil gaat dan je op het eerste gezicht zou denken.
Zo is het met het schaakspel, zo is het met go, zo is het met John Conways Game of Life, en zo is het met de mandelbrotverzameling: de startvoorwaarden schijnen ons door hun betrekkelijke overzichtelijkheid vele malen simpeler toe dan ze in werkelijkheid zijn.
En omgekeerd: de eindresultaten zijn zodanig onoverzichtelijk dat we het geheel vele malen complexer inschatten dan het in werkelijkheid is, en zo lijkt het net alsof iets uit niets kan ontstaan, het complexe uit het simpele, alsof we hier met emergente complexiteit van doen zouden hebben. Maar dat is niet zo. Er schuilt simpelweg veel meer achter de startvoorwaarden dan we in eerste instantie voor mogelijk hielden – de wereld is altijd vele malen complexer dan ze ons op het eerste gezicht toeschijnt.
Meer over fractalen
Dankzij hun bijzondere verhouding tot zichzelf en de illusie van complexiteit die zij teweeg brengen lenen fractalen zich uitstekend voor de illustratie voor een grote verscheidenheid aan fenomenen.
Een andere fractaal is de driehoek van Sierpiński, een variant waarvan door psycholoog Mattias Desmet gebruikt wordt voor de cover van zijn boek De psychologie van totalitarisme. Desmet gebruikt dit figuur om aan te tonen hoe kleine, schijnbaar simpele beginvoorwaarden kunnen leiden tot een totaal aan gebeurtenissen waar veel meer achter lijkt te schuilen.
Hij toont hoe relatief kleine onderdelen samen iets groots bouwen. Individuele mensen vormen samen een mensenmassa, individuele gebruikers vormen samen het systeem, als termieten die samen een grote termietenheuvel bouwen zonder dat de individuele termiet daarvoor het bouwplan hoeft te kennen.
In het volgende fragment legt hij uit hoe de afzonderlijke gebruikers daarbij geen idee hoeven te hebben van de orde die ze helpen opbouwen. Voor de buitenstaander echter, lijkt het net of alle verschillende individuen samenwerken aan een vooropgezet plan waar zij allen kennis van hebben, terwijl ze in feite alleen maar een betrekkelijk simpele set regels volgen, waar al het andere uit volgt, zoals de ontelbare hoeveelheid mogelijke zetten in het schaakspel – er zijn meer mogelijke zetten in schaak dan dat er atomen zijn in het zichtbare universum zouden zijn – simpelweg volgt uit de betrekkelijk simpele spelregels, die een klein kind kan leren.
Wat voor de betrokken personen iets uiterst simpels lijkt, groeit in zijn totaliteit uit tot een vele malen complexer lijkende structuur. Het lijkt of de betrokken personen deel uitmaken van een organisatiestructuur waarin zij allerlei bevelen opvolgen, terwijl het enige dat nodig is om tot deze situatie te komen is dat ze een set betrekkelijk eenvoudige regels volgen. Dat is het principe, aan de hand waarvan vele fenomenen beter begrepen kunnen worden, dat in de visuele presentatie van fractalen mooi uitgebeeld wordt.
Bonus: een memorabele introductie tot chaostheorie
Chaostheorie wordt humoristisch uitgelegd door dr. Ian Malcolm in Jurassic Park, aan het bekende voorbeeld van the butterfly effect:
